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拉格朗日力学

拉格朗日力学

广义坐标

提到坐标,我们首先想到的可能就是x、y、平面坐标之类。广义坐标或许可以理解为描述一个系统的状态的东西。可以是很多东西。例如极坐标中就有角度作为坐标。

我们描述系统时,通常只用最少的坐标,以减少变量。例如我们研究平面内问题,就可以只用x,y,如果物体只在一条直线上运动,可以只用一个坐标。

例如这张图中,车子沿直线运动,杆长是恒定的,我们只需要车在水平方向的坐标和杆和竖直方向的夹角两个坐标。

x_1和x_2

我们称参量最少的个数为自由度,如上面这个系统就是两个

对于有s个自由度,我们需要s个变量

q_1,q_2,q_3,\cdots,q_s

称为广义坐标

但是坐标只能描述位置,我们还需要速度,才能描述一个系统的力学状态.速度也就是坐标对时间的一阶导数:广义速度

\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3}\cdots,\dot{q_s}

最小作用量原理

一个物体在在一段时间内从A运动到B, 作用量在时间上的积分最小.

这里作用量就是动能减势能,为什么我也不知道.也不知道为什么就必须最小,但事实就是这样.

在《朗道力学》中,作者没有直接说明“动能减势能”,似乎是“凑出”了作用量。我写写我的理解。

假设我们没有牛顿力学什么的。我们想要描述一个力学系统,需要用一些参数,就是上面的广义速度和广义坐标。我们用一个函数表示这个系统的运动。

\mathscr{L}(q_1,q_2,\cdots,q_n,\dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_n})

也就是拉格朗日函数.

作用量在时间上的积分最小,用数学描述,就是变分为0

S=\int^{t_1}_{t_2}\mathscr{L}dt\\ \delta\mathscr{L}=0

求解可以得到n个方程

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}},i=1,2,3,\cdots

称为拉格朗日方程,也就是系统的运动方程.

但是到现在我们也没有说L函数怎么表示,会感觉云里雾里,不懂这东西在干什么。接下来就要开始凑了.

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