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记一点笔记

物理系大二菜狗,写一点笔记,就当是逼自己学习了 :c_shounuehuaji:

变分法

来自最速降线问题。第一次见到这个词大概还是高中课本,或者B站上3b1b的一个视频 最速降线问题:最快下滑路径为什么是旋轮线?(中英字幕)_哔哩哔哩_bilibili。这个用费马原理解决这个问题的思路确实令我大受震撼 :c_shounuehuaji:
还没有能力把这笔记写得多么好,只能大致记录一下推导过程了 :c_weiqu:

数学处理

(QAQ,不知道用什么绘图,有什么推荐的吗?)


最速降线问题:一物体沿光滑斜面从A到B,斜面为什么形状时运动时间最短?
用积分得到时间

T=\int_{x_1}^{x_2}\frac{ds}{dv}=\int_{x_1}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}dx

这是一个函数的函数,我们称这种映射关系为泛函关系

泛函关系通常可表示为

T=\int_{x_1}^{x_2} f[y(x),y'(x),x]dx

现在我们需要求T的极值(最小值),我们假设

y=y_0(x)

时取极值。

\delta y=y(x)-y_0(x)

y的变分(可以说是一个“差值”函数?)
设一个

y(x,\alpha)=y_0(x)+\alpha\delta y

并将这个式子代入上面的积分

y(x,\alpha)=\int_{x_1}^{x_2}f(y+\alpha\delta y,y'+\alpha\delta y',x)dx\\\alpha=0时有\frac{dy}{d\alpha}=0(取极值)\\求导得到:\frac{\partial y(x,\alpha)}{\partial\alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left (\delta y\frac{\partial f}{\partial y}+\delta y'\frac{\partial f}{\partial y'}\right )dx=0\\ (这个式子处理后和求微分差不多,将\delta y看作dy)

这里积分和求导互换好像也有点复杂,什么积分下求导定理(不过不管那么多了

运用分部积分求积分内右边

\int_{x_1}^{x_2}\delta y'\frac{\partial f}{\partial y'}dx=\left[\delta y\frac{\partial f}{\partial y'}\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\delta y\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)dx
\delta y(x_1)=\delta y(x_2)=0\\{}\\所以\left[\delta y\frac{\partial f}{\partial y'}\right]_{x_1}^{x_2}=0\\{}\\\int_{x_1}^{x_2}\delta y'\frac{\partial f}{\partial y'}dx=-\int_{x_1}^{x_2}\delta y\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)dx

再代回得到

\frac{\partial y(x,\alpha)}{\partial\alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\delta y\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0

$\delta y$取任何值时均成立,所以括号内为0,即:

\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0,(x_1\leq x\leq x_2)

即为欧拉-拉格朗日方程
接下来就可以继续学理论力学了(X

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:expressionless:好毒!!

如何解欧拉方程

得到了欧拉-拉格朗日方程,但会发现这个二阶的微分方程通常比较难解,下面记一些处理方法.

\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0,(x_1\leq x\leq x_2)

一.方程不显含y'

\frac{\partial f}{\partial y'}=0\\ 即\frac{\partial f}{\partial y}=0,很容易解出

二.方程不显含y

\frac{\partial f}{\partial y}=0\\ 即\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0,也即\frac{\partial f}{\partial y'}=C,容易解出

三.方程不显含x

\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y'}=0\\ 而\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=f''_{y'x}+f''_{y'y}y'+f''_{y'y'}y''\\ 带入原方程得到:f'_y-f''_{y'y}y'-f''_{y'y'}y''=0\\ 两端同时\times y',便化为恰当导数方程\\ \frac{d}{dx}(f-y'f'_{y'})=0\\ 即为f-y'f'_{y'}=0,容易求解.

注意到貌似不同教材中规定不同,这里f’’~xy~表示先对x求偏导再对y求

四.方程只含y'

f'_y=f''_{y'x}=f''{y'y}=0\\ 方程化为f''_{y'y'}=0,容易求解

我是 Python 党,画图都是用 matplotlib,对标 MATLAB。

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